フェルマーの最終定理

著者
サイモン・シン
翻訳者
青木薫
出版社
新潮社(新潮文庫)

フェルマーの最終(証明されずに残された)定理

「直角三角形の斜辺の二乗は他の二辺の二乗の和に等しい」というピュタゴラス(ピタゴラス)の定理。 たとえば、斜辺が5cm、他の二辺がそれぞれ3cmと4cmの直角三角形などで成り立つことは、小学生でも知っている。

32+42=52

これを変数x, y, zを使った方程式として表すと、次のようになる。

x2+y2=z2

ここまでは、中学生でも判る。 問題は、その次だ。

xn+yn=zn

ここでnを2よりも大きな整数とした場合にも、この方程式は成り立つだろうか?

1670年に出版されたディオファントスの『算術』は、それ以前に出版された『算術』のページの余白に、フェルマーが書き込んだメモを含めたものだ。 そのメモの一つに、上の方程式で示される内容が記され、そしてフェルマーの所見が続いていた。

私はこの命題の真に驚くべき証明をもっているが、余白が狭すぎるのでここに記すことができない。(118ページ)

フェルマーが証明を書かなかったばかりに、3世紀にわたる数学者の挑戦と挫折が始まるのだった。

数学なんて自然科学のための道具じゃん?

「数学なんて自然科学のための道具に過ぎない」……と、大学に進学したばかりのワシは考えていた。 高校の理系クラスで完全に数学IIIで落ちこぼれ、受験数学にすっかり嫌気のさしたワシは、大学に入っても教養の数学を敬遠してとらなかった*1

だが、統計学を四年やって*2、ちょっと頭をよぎることがあった。

なぜ、自然科学の法則や自然現象には、数学で表現できるものがたくさんあるのだろう?

結局ワシは現在でも数学については落ちこぼれ、というか数学的センスがないのだが、ときおり観察している相手(植物とか動物とか風景とか)の向こうに透けて見える数学に唖然とすることがある(「フィボナッチ数」参照)。

そこで、「数学の解説書」ではなく、「数学をめぐるドラマ」であり「自然界の背景に横たわる数学への挑戦」を描いた本書は、とても楽しんで読むことができた。

本書の翻訳者である青木薫氏も、理論物理を専攻しただけあって、数学に対するスタンスが微妙だったようだ。 自然科学で示せるのは「近似値」であって「論理」ではない。 数学だけが「論理的」に証明することができる。 ……という本書のくだりを(原書で)読んでいて、むっとしたのだそうだ(「訳者あとがき」485ページ)。

「科学的」であるということは、絶えず検証を繰り返すことで、「真実」に近付こうとすることである。 それに対して数学は、論理的な証明によって定理を生み出す。

だが、その「論理的な証明」も人間が行うことだから、誤りや見落としがある*3。 だからこそ、フェルマーの最終定理の証明に三世紀を要したのだ。

フェルマーの最終定理を証明したアンドリュー・ワイルズも、1993年に発表してから1年間、その確認ができなかった。 当時、ニューヨーク八番街の地下鉄駅には、こんな落書きが現れたそうである。

xn+yn=zn  この方程式に解はない。

私はこれについて真に驚くべき証明を発見したが、
電車が来てしまったので書くことはできない。(362ページ)


*1 数学の講義が土曜の午後だったので、土日で山へ行くのに障害になる、ということもあったのだが。
*2 教養の統計学、農学専攻の生物統計学、農学実験のレポート作成、そして卒論、と四年間電卓を叩き続けた。……パーソナルコンピュータなどなかった時代だったからである。ちなみに、研究室で電卓を叩いていると助手の先生が「いいなぁ、電卓があって。オレが学生の頃は手回し計算機だったよ」と言った。
*3 コンピュータを使えば良いというものでもない。コンピュータは力ずくで計算するが、「論理」を発見することはできない。

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Last-modified: 2007-07-24 (火) 21:36:43 (4408d)