線分を三等分する方法

日本数学会の「大学生数学基本調査」の出題の一つ。 正答率4.4%だそうだ。

ワシは数学は苦手だが、課題解決は好きなので、ちょっと考えてみた。

線分を描いた紙を折れば簡単だが、たぶん誰かに怒られるので、ここでは却下。

三角定規を使って平行線を描いても良いなら簡単だが、まずは却下*1

三角定規って、平行線を描けるだけでなく角度も測れるから、考え方によっては目盛り付きの定規と同じくらい反則かもね。

使うのは目盛りのない直定規1本とコンパスだけ

まずは線分

何しろ数学が苦手なので、ナントカの定理とかを思い出すこともなく、線分をぼーっと見ていた。

すると、正三角形を並べることを思いついた。 線分を底辺とする大きな正三角形と、辺の長さがその三分の一の正三角形である。

こうすれば三等分

大きな正三角形の重心を求めることができれば、小さな三角形を描くのは簡単そうだ。

ということで、やってみよう。

まずは線分

線分の端(数学が苦手なので、A とか B とか使うのもイヤ)を中心に、線分の長さを半径とする円弧を描く。

円弧を一つ

線分のもう一方の端を中心に、線分の長さを半径とする円弧をもう一つ描く。

円弧をもう一つ

2箇所の円弧の交点をつなげば、線分の垂直二等分線が描ける。

垂直二等分線

円弧の交点の一つを中心に、線分の長さを半径とする円弧を描く。

さらに円弧

いま描いた円弧の交点と、遠いほうの線分の端を結ぶと、前に描いた垂直二等分線との交点が、大きな正三角形の重心だ(正三角形の場合は、内心かつ外心でもあるよね)。

重心が求められる

線分の端と重心を結ぶ線分の垂直二等分線を描いてやれば……。

線分の端を中心とする円弧を描き……
重心を中心とする円弧を描き……

最初の線分とその垂直二等分線の交点は、線分を 1:2 に分けている。

垂直二等分線を描く

線分を 1:2 に分けている点を中心に、線分の端まで(線分の長さの三分の一)を半径とする円弧を描く。

線分の三分の一の長さの半径の円弧を描く

これで、線分を三等分にできた。

線分を三等分にできた

最初に考えた、正三角形と重ねてみると、こんな具合になる*2

正三角形と重ねてみる

いやー、こう描いてみると、手順が煩雑かなぁ。 もっと簡単な方法もあるんだろうね、きっと。

もう一つ考えてみた

正三角形と重ねてみる

今度は、一辺の長さが線分の二分の一の正三角形を考えてみた。 線分の上にも下にも積み上げてみると、ふむ、何とかなりそうだ。

まずは線分

線分を半径とする円弧を二つ描く。

線分を半径とする円弧

上下の円弧の交点を結べば、線分の垂直二等分線となる。

垂直二等分線を描く

線分を直径とする円を描く。

線分を直径とする円

線分の両端から、線分を直径とする(つまり半径は線分の二分の一の)円弧を描く。

線分の両端から円弧を描く

線分の下にある円弧の交点二つを結ぶ。この短い線分の長さは、最初に与えられた線分の二分の一である。

線分の下にある円弧の交点を結ぶ

この短い線分を底辺とする細長い二等辺三角形を作る。

細長い二等辺三角形を作る

二等辺三角形の左右の辺との交点で、元の線分は三等分されている。

元の線分の三等分完了

最初に思い付いた辺の長さが線分の二分の一の長さの正三角形と重ねてみる。

正三角形と重ねてみる

細長い二等辺三角形の高さは正三角形三個分なので、こうなるわけ*3

こっちのほうが簡単かな?

もう一つ思い付いたので、追加しておく。

線分を底辺とする正三角形を組み合わせる

こんなふうに、線分を底辺とする正三角形を描き、それを組み合わせた大きな六角形を想定するのだ。

まずは線分

線分の両端を中心に、線分の長さを半径とする円弧を描く。 今回は、コンパスで描く円と円弧の半径は、常に線分の長さだから、手間がかからない(と思う)。

線分の長さを半径とする円弧を描く

円弧の交点の一つ(次の図では下のほうの交点)を中心に、円を描く。

円弧の交点を中心に円を描く

円弧と円の交点を中心に、円弧を描く。

円弧と円の交点を中心に円弧を描く

新しくできた円弧と円の交点を結ぶ線分を描く。 この線分の長さは、元の線分と同じ長さで、元の線分と平行である。

円弧と円の交点を結ぶ線分を描く

新しい線分の両端と、元の線分の上方の円弧の交点を結び、細長い二等辺三角形を作る。

新しい線分を底辺とする二等辺三角形を作る

この二等辺三角形の二つの斜辺は、元の線分を三等分している。

二等辺三角形の二つの辺で、元の線分が三等分されている

なぜかって? この二等辺三角形の高さは、正三角形3個分の高さだからだよ〜ん。

正三角形を重ねてみる

日本数学会の正答例

上の三通りの解き方のうち、最初の二通りを思い付いた後で、日本数学会のサイトで正答例を見た。

だいたいこんな具合である*4

まずは結構広いスペースが必要だ。

まずは線分

線分の一方の端から、任意の長さ、任意の角度の線分を描く。 この線分が短いと、あとあと作図がしにくい。

任意の長さの線分を描く

新たな線分に、等間隔に3箇所、印を付ける。 この間隔は任意だが、狭いと作図がしにくいので、線分の長さにしてみた。

等間隔に印を付ける

三番目の印と、元の線分の端をつなぐ。

三番目の印と、元の線分の端をつなぐ

正答例では、いま引いた線に平行に、あと2箇所の印から平行線を2本引けば、元の線分を3等分にできる、としている。

あと2本、平行線を引いて完成?

問題は、その平行線の引き方だ。 三角定規があれば、平行線を引くのは容易である。 もしも、直定規が1本しかなかったら?

……というわけで、三角定規を使わずに平行線を引く方法を考えた。

次のように平行四辺形を作ってやれば、その対向する辺は平行である。 ここでは、四辺の長さが等しい平行四辺形、すなわち菱形を作図する要領でやってみよう。

こんな平行四辺形(菱形)を作図するつもりで平行線を描いてみよう

任意の半径で円弧を描き……。

任意の半径で円弧を描く

円弧と線の交点を中心に、同じ半径でもう一つ円弧を描く。

同じ半径の円弧を描く

円弧の交点を使って、平行線を描く。

円弧の交点を使って平行線を描く

同じことをもう一度繰り返して……。

同じことの繰り返し

これでやっと平行線が二本描けた。

完成

……というわけで、やっぱり平行線なんか使わずに、もっと簡単な方法でできないだろうか、と考えたのが三通り目である。 コンパスは線分の長さに開いたままなので、最も早いのではなかろうか。


*1 ちなみに、二本数学会の正当例、じゃない、日本数学会の正答例では、平行線を使っている。もちろん、直定規とコンパスだけで平行線を描くこともできるが、ちょっと手数が多くて面倒くさいし、誤差も大きくなりそうだ。と思っただけではナニなので、やってみた。
*2 以上、考えた時間は会社の昼休みに10分くらい。家に帰ってから Adobe Illustrator で作図するのに約1時間。
*3 こちらも、考えた時間は会社の昼休みに10分くらい。家に帰ってから Adobe Illustrator で作図するのに今度は前回の下絵があったから、約30分。
*4 いいかげんですみません。人のモノをそのまま使うのはイヤなので、適当に解釈して描きなおしています。

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Last-modified: 2012-03-03 (土) 22:36:23 (2723d)