フィボナッチ数と植物の形態

この「研究」は、下のムスメとの共同研究である。 ……というか、ムスメの夏休みの自由研究(2007年夏)をネタに、あれこれ考察してみたものだ。

この「研究」のおかげで、植物の葉を見ると、つい数えるようになってしまった。

葉序

ヒマワリ(シロタエヒマワリ?)のように、茎がまっすぐに立っている植物の、葉の付き方を観察する。 葉が上下に重なっているところを見つけたら、下のほうの葉を(ゼロ)番として、上の葉が何枚目かを数える。

ヒマワリの葉序(3/8)

たいてい、0番の葉から右または左へ三分の一ほど回ったところに、1番の葉がある。 さらに三分の一ほど回って2番、そして3番へ行く前に0番の上を通過する。 数え始めてから1周して、2周目に入ったことになる。

そうやって数えてみたところ、8番の葉(8枚目)で下の葉と重なった。 そして、それまでの間に、茎の周りを3周している。 このような葉の付き方(葉序(ようじょ))を「3/8葉序」という。

草だけでなく、木の枝先でも同じように葉序を観察できる。 カキの場合、次のように「2/5葉序」であった(2周目、5番目の葉で重なる)。

カキの葉序(2/5)

ほかにもいろいろ調べてみた。 ホウセンカは 3/8葉序である。

ホウセンカの葉序(3/8)

タカサゴユリは葉が多くて判りにくいが、赤い点線にそって5周目、13番目の葉で重なる。 つまり、5/13葉序である。

タカサゴユリの葉序(5/13)

同じく、セイタカアワダチソウも 5/13葉序である。

セイタカアワダチソウの葉序(5/13)

ジャガイモにも同様に「葉序」がある。

ジャガイモの葉序(2/5)

上の写真では、正面に先端の芽が見えている。 ジャガイモには芽がいくつも付いていて、それが螺旋(らせん)状に配置されている。 ご覧のとおり、2/5葉序である。

芽は葉の付け根から出る。 そこで「葉が規則的に茎に付いている」ことと同じである*1。 このことからも、ジャガイモの「いも」が(サツマイモやヤマイモと違い)根ではなく茎であることが解る。

葉序とフィボナッチ数

さて、これまでに見てきた葉序をまとめると、次のようになる。

2/5 3/8 5/13

これらの数字、「2, 3, 5, 8, 13」は、いずれもフィボナッチ数だ。

あるフィボナッチ数を Fn、その2つ後の項を Fn+2 とすると、葉序は次のように表される。

Fn/Fn+2

こうなると、「1/2」や「1/3」という葉序もありそうだ、と思って探すと、対生や輪生の場合にそれっぽいものがある*2

イブキジャコウソウ(日本産のタイム)をはじめ、シソ科の植物はすべて対生である。 つまり、一つの(せつ)から2枚の葉が対になって付いている*3

イブキジャコウソウ(対生)

アベリア(ハナゾノツクバネウツギ)には、対生のものが多いが、一つの節に3枚の葉が付く輪生のものもある*4

アベリア(輪生)

なぜ葉序にフィボナッチ数が現れるのだろう?  このことを考えるために、これまでに見てきた葉序を模式的に示してみよう。 図中には、0番の葉から1番の葉までの角度も記しておいた。

1/2葉序 1/3葉序 2/5葉序 3/8葉序 5/13葉序

→もう少ししつこく、葉序のシミュレーションもやってみたが、これは別のページに記す。

葉序と開度

1/2葉序の場合、0番の葉から1番の葉までの角度は180°である。 このような、ある葉と、次の葉の成す角度を「開度」という。 開度は、次の式で求められる。

開度〔°〕=360×葉序

そこで、上に示したそれぞれの葉序の場合、開度は次のようになる。

葉序開度〔°〕
1/2180
1/3120
2/5144
3/8135
5/13138.5

葉序のフィボナッチ数が大きくなるに従って、開度はある値に近付いていく。 その値は、約137.5°……この値こそ、究極の開度なのである。

葉序・開度と葉の重なり方

葉序1/2(開度180°)の植物を上から見ると、2番目の葉が0番に重なる。 つまり、真上から太陽が照らすとき、2番目の葉が0番の葉への日光を(さえぎ)ってしまうのである。 たくさんの葉を広げていても、2枚目ごとに日光を遮り、下の葉の光合成を阻害するのでは効率が悪い。

葉序1/3(開度120°)なら、3枚目ごとに下の葉を遮る。 葉序2/5(開度144°)なら、5枚目ごとになるし、上下の葉の間も少し開く。 葉序3/8(開度135°)なら、こんな具合だ。

真上から見たホウセンカ

葉序のフィボナッチ数が大きくなるに従って、上下に重ならない葉の枚数が増える。 そして、開度が約137.5°のとき、葉が「絶対に」上下に重ならないはずなのである。

この究極の開度はどうやって求められるのか?

究極の開度と黄金比

フィボナッチ数を次のように定義する。

  Fn+2=Fn+Fn+1(ただし、n≧1)

これは、n≧2の場合には、次のように変形できる。

  Fn+1=Fn−1+Fn

さらに、n≧3の場合には、次のように変形できる。

  Fn=Fn−2+Fn−1

さて、葉序は 2/5、3/8、5/13のようになっているから、一般化すれば次のように表される。

  Fn−2/Fn(ただし、n≧2)

一方、黄金比は次のように表される(「フィボナッチ数」参照)。

  Fn+1/Fn

葉序と黄金比の和を求めてみよう。

  Fn−2/Fn+Fn+1/Fn=(Fn−2+Fn+1)/Fn

ここで、

  Fn+1=Fn−1+Fn

だから、

  (Fn−2+Fn+1)/Fn=(Fn−2+Fn−1+Fn)/Fn

となり、さらに、

  Fn=Fn−2+Fn−1

だから、

  (Fn−2+Fn−1+Fn)/Fn=(Fn+Fn)/Fn

したがって、葉序と黄金比の合計は 2 である。

つまり、

  究極の葉序=2−黄金比

となる。

そこで、

  究極の開度〔°〕=360×(2−黄金比)

で求められることになる。

黄金比は次のように表される。

  1:(1+√5)/2

そこで、究極の開度は

  究極の開度〔°〕=180×(3-√5)

より、約137.5°であると求められる。

花とフィボナッチ数

たくさんの花が茎の先に付くキク科の花にも、フィボナッチ数が現れる。 有名なところではヒマワリだが、あいにく調査の時点では、ヒマワリは咲いていなかった。 そこで、庭に咲いていたサンビタリアの花を見てみた。

サンビタリアの花の13本のらせん

サンビタリアの花の直径は、1.5センチほどである。 それでもヒマワリと同様に、小花の配列はらせん状になっている。 まず気付いたのは、13本のらせんである。

サンビタリアの花の8本のらせん

次に、逆方向の8本のらせん。

サンビタリアの花の21本のらせん

そして、やや判りにくいが、21本のゆるいらせん。

ランタナの花の5本のらせん

他にもないかとこんの散歩中、近所の庭先で目を付けたのが、ランタナの花である。 放射状に10本、かと思いきや、5本のらせんが現れた。

植物が成長しながら葉なり花なりの構造を形成するとき、フィボナッチ数が現れるのだろうか。

果実とフィボナッチ数

松ぼっくり

花にフィボナッチ数が現れるなら、当然果実にも現れるだろう、そう思ってマツの果実、すなわち松ぼっくりを調べてみた。

松ぼっくりの8本のらせん

まず気付くのは、8本のらせん。

松ぼっくりの13本のらせん

次に、逆方向の13本のらせん。

松ぼっくりの5本のらせん

そして、よくよく見ると、きつく巻かれた5本のらせん。

5, 8, 13 はどれもフィボナッチ数である。

らせんを構成するのは、鱗片(りんぺん)と呼ばれるマツの花の部品である。 花は葉が変態したものだから、葉序が調べられるはずである。

……ということで調べてみたが、上の図の向きだと、鱗片が密に並んでいて図示しにくい。 ひっくり返してみると、よくわかる。

松ぼっくりの「葉序」は2/5

2周目、5番目の鱗片で重なるので「2/5葉序」である。

パイナップル

もう一つ、果実の例を示す。パイナップル(スナックパイン)である。 13本、8本、5本のらせんを順に示す。

パイナップルの13本のらせん

↑13本

パイナップルの8本のらせん

↑8本

パイナップルの5本のらせん

↑5本

さて、パイナップルの果実も葉が変態したものだから、本当はひとつひとつの果実の突起が1本のらせんの上に乗るはずである。 しかし、パイナップルを目の前にしても、その1本のらせんを辿るのは難しい。 面倒くさいので食べてしまってから芯の部分で調べようかと思ったが、芯も食べてしまったのだった。

植物は数学を知っているか?

フィボナッチ数は出てくるわ、黄金比は出てくるわ、まったく、「植物は数学を知っていて、数学に基づいて自らの体を設計しているのだろうか?」と考えたくなる*5。 だが、ちょっと待った。

フィボナッチ数の現れない葉序の植物もある。

ハマユウの花

海岸に自生し、夏に白い花を咲かせるハマユウ*6。 このハマユウの葉序を調べてみよう。

ハマユウ

13番まで数えてみたが、0番と重なる様子はない。 ひょっとして、21番とか34番とか、そういう大きなフィボナッチ数で重なるのかなぁ、と思ってよく見ると……開度は180°近いではないか!  ……究極の開度である約137.5°とは程遠い。

ということは、葉序にフィボナッチ数を使って究極の開度を目指すのではなく、1/2葉序、開度180°から「ちょっとずつひねる」ことで、葉が上下に重なることを防いでいるのだろう*7

実際、葉序を調べているとき、茎が垂直に立っている植物でないと、うまく数えられないことに気付いた。 茎が斜めだと、「上の葉が下の葉に重なること」をあまり気にしなくてもよいのだろう*8

生物は「行き当たりばったり」「試行錯誤」によって進化し、現在に至っている。 数学的に美しい生き方を目指しているわけではないのだ。 「たまたまこの形態、このやり方だと生き延びることができた」から、合理的な形態や生態に見える場合があるに過ぎない。

生物に合理性、合目的性を求めてはいけない。

最後に、トウモロコシ(ベビーコーン)の種子の配列を載せておく。

ベビーコーンの種子の列の数。12とか14とか。

ムスメと研究を始めたとき、トウモロコシからもフィボナッチ数が見つかるのではないか、と思ったのだ。 ベビーコーンだけでなく、ハニーバンタムを蒸かし、食べながら一所懸命数えてみたりしたのだが、どうも無関係な数字ばかりが出てきた*9

自然が、人間の思い込みや理想に合わせてくれると思ってはイケナイのである。


*1 じつは、芽のすぐ外側にあるちょっとした出っ張りが葉の痕跡である。
*2 これまでに見てきた葉序はすべて互生(ごせい)のものである。1/2葉序の例としてはアヤメ科のニワゼキショウなどがある。
*3 ただし、すぐ上の節では90°回転した位置に付く。
*4 アベリアの場合も、すぐ上の節では60°回転した位置に付く。
*5 もちろん、すべての生物は超知性的な設計者によって形づくられたのだ、という考え方もある。しかし、それは科学的というよりファンタジー的である。
*6 沼津市の花だそうだ。下水のマンホールにも描かれている。
*7 目指すとか防ぐとかいう合目的的な表現は、本当は擬人的で不適切なのだが、こういう表現抜きで書くのは難しいのだ。修行不足である。
*8 これも擬人的で不適切な表現である。もちろん。
*9 食べながら「らせん」を探した結果の写真も撮ったのだが、食べ痕が汚いので載せられない。

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Last-modified: 2009-06-18 (木) 00:10:02 (3746d)